El Logicismo como culminación de un modo de ver y entender el mundo

En el artículo anterior nombramos al pasar al proyecto logicista de reducir la matemática a la lógica. Me parece pertinente compartir esta hazaña científica ya que a mi juicio sirve para ejemplificar una necesidad filosófica y metafísica de ordenar el mundo y la realidad que viene arrastrándose desde que Parménides, filósofo griego presocrático afirmó que el ser es uno, y la afirmación de la multiplicidad que implica el devenir, y el devenir mismo, no pasan de ser meras ilusiones.

El logicismo es la tesis que sostiene que la matemática se reduce a la lógica o que la matemática no es más que lógica. Los positivistas lógicos pretendían hacer una reconstrucción lógica de las teorías científicas. Gottlob Frege formuló el programa en 1879 e intentó realizarlo concretamente. Creó la lógica, el programa logicista y redujo la aritmética a la lógica, aunque esto último resultó inconsistente.

“¿No yace la base de la aritmética a mayor profundidad que la de cualquier conocimiento empírico, a mayor profundidad que la de la misma geometría? Las verdades aritméticas gobiernan el campo de lo numerable. Este es el más comprehensivo, puesto que a él pertenece no solo lo real, no solo lo intuitivo sino todo lo pensable. ¿Las leyes de los números, así, no deberían estar en íntima unión con las del pensamiento?.” [Frege, G. en el libro de 1884: Los Fundamentos de la Aritmética incluido en Conceptografia, p. 130]

Lógica y aritmética eran cosas completamente distintas, con escasa relación entre sí, pero Frege logra hacer una crítica a Kant y a su idea de que los enunciados aritméticos son sintéticos a priori, concluyendo que estos enunciados son puramente analíticos, estableciendo una conexión con los teoremas de la lógica. (Las tautologías de la lógica son paradigma de enunciados analíticos). Frege llega a la conclusión de que todos los enunciados de la aritmética son analíticos, por lo tanto se pueden probar únicamente a partir de leyes lógicas y definiciones nominales. Si se lograba probar que todos los teoremas de la matemática a partir de leyes lógicas, entonces los teoremas de la matemática no eran más que teoremas de la lógica.

Decir que T1 -una teoría cualquiera- se reduce a T2 -otra teoría axiomatizada cualquiera- quiere decir que se cumplen estas condiciones:

1) Todos los términos primitivos de T1 son definibles exclusivamente mediante términos primitivos de T2.

2) Todos los teoremas de T1 son demostrables a partir de los axiomas de T2.

Si se reducen mutuamente esto quiere decir que ambas teorías son lógicamente equivalentes, y por lo tanto no son dos teorías distintas, son dos formulaciones de una misma teoría. Esto no quiere decir que estén formuladas en el mismo lenguaje, por lo tanto hay que probar que todos los términos de T1 se definen en la otra teoría y viceversa.

Frege formula el programa teniendo en cuenta estas dos condiciones y diciendo que todo concepto aritmético es definible en función de conceptos puramente lógicos y todo teorema es demostrable a partir de leyes lógicas. Habría que demostrarlo entonces, pero se descubrieron contradicciones en esta lógica. Una de las paradojas se conoce como Paradoja de Russel, ya que la descubrió (a la par de Zermelo). Es una paradoja de auto-referencia (enunciados que se refieren a enunciados del propio sistema) que aparece precisamente en la noción de “extensión de conceptos”, es decir, ligada al tratamiento de la teoría de conjuntos. Frege en el apéndice del volumen dos de los Grundgesetze la expresa así:

“Nadie esperará afirmar que la clase de los hombres es un hombre. Aquí tenemos una clase que no se pertenece a sí misma. Digo que algo pertenece a una clase cuando cae bajo el concepto cuya extensión es la clase. Fijemos nuestra mirada sobre el concepto: clase que no se pertenece a sí misma. La extensión de este concepto (si podemos hablar de su extensión) es entonces la clase de clases que no se pertenecen a sí mismas. Para acortar vamos a llamarla la clase K. Preguntamos ahora si esta clase K se pertenece a sí misma. Primero, supongamos que sí lo hace. Si algo pertenece a una clase, cae bajo el concepto cuya extensión es la clase. Entonces si nuestra clase se pertenece a ella misma es una clase que no se pertenece a sí misma. Nuestra primera suposición conduce entonces a una auto-contradicción. En segundo lugar, supongamos que nuestra clase K no se pertenece a ella misma; entonces ella cae bajo el concepto cuya extensión es ella misma, y entonces se pertenece a ella misma.” [Frege, G.:"On Russell paradox'', en Geach, Peter; Black, Max. Translations from the philosophical writings of Gottlob Frege, p. 235]

También afecta a la teoría de conjuntos de Georg Cantor. La teoría de conjuntos de Cantor no es axiomática, pero hacía uso de dos principios, que son dos axiomas implícitos:

1) Comprensión: (Ey Vx (x y <–>jx)

Toda propiedad determina un conjunto que es su extensión, donde la propiedad j es una propiedad cualquiera. La variable y es un conjunto y la variable x un elemento, algo que pertenece al conjunto.

2) Extensionalidad: Vxy (Vz (z x <–> z y) –> x=y)

Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. La identidad de un conjunto esta dada por los elementos que contiene y, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son el mismo conjunto, son identicos, solo diferirian en el nombre. Si dos conjuntos son diferentes, tiene que haber algún elemento que pertenezca al primero y no al segundo o viceversa.

De estos dos principios o axiomas de la teoría de conjuntos, es el primero el que produce la paradoja de Russel.

j es una propiedad cualquiera. Sea j la propiedad de ser un x tal que x no pertenece a sí mismo, x no es elemento de sí mismo.

j = x x

Supongamos que x es un conjunto que no se tiene a sí mismo como elemento.

(x y <–> x x)

Nadie dice que x e y no puedan ser el mismo conjunto.

Suponemos entonces que x es igual a y, y reemplazamos:

x = y

(x x <—> x x)

Llegamos a una contradicción evidente: x pertenece a x, si y sólo si, x no pertenece a x.

En el caso de que los elementos sean los mismos, se produce esta paradoja. Y esto no se trataba simplemente de un problema técnico para Frege, sino que cuestionaba toda la visión que tenía sobre la aritmética. La profundidad de la crisis que se abrió en esta etapa del logicismo debe entenderse bien; para él, el proyecto era la descripción de verdades absolutas correspondientes a un mundo no tangible pero real. La paradoja cuestionaba no sólo el proyecto sino la filosofía subyacente, esto es, la idea que la realidad se condice con un lenguaje abstracto; el matemático. Dicho de otra manera, que la lógica expresa objetivamente la Verdad del mundo.

En el próximo artículo veremos como esta idea de sistema cerrado y completo ha sido la piedra de toque de toda la filosofía occidental de los últimos milenios y cómo en el siglo XX la mecánica cuántica introduce la posibilidad todavía en germen de un nuevo pensar y construir realidad, siguiendo tal vez, aquella vía que Parménides negó como ilusoria, la de la multiplicidad y el devenir. (Continuará…)